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Les Fractales

Les Fractales

TPE par Inès Arioli, Oriane Benistant, Ivana Lhottellier-Aman

1. C- La dimension fractale

Une autre particularité surprenante d'une fractale est sa dimension dans l'espace. En effet celle-ci possède une dimension non-entière.

Nous savons tous que:

   

"Objet" considéré

Dimension

Unité de mesure

un point

0 aucune

une droite

1

une figure plane

(triangle, carré,...)

2 m2 

un solide

(pyramide, cube,...)

3

m3

 

 

Nous pouvons vérifier ces propriétés par un calcul afin de dégager une propriété générale capable de nous donner la dimension d'une fractale. Nous calculerons ensuite la dimension du Flocon de Koch.

  • La dimension d'un segment

Soit L la longueur de notre segment et n une "portion" ( un étalon) de ce segment. On reporte l'étalon L/n fois sur ce même segment

               

F remarque alors que L/n = (L/n)^1

  • La dimension d'un carré

Soit L² la surface de notre grand carré et n² la surface du petit carré. Comme précédemment on reporte le petit carré L²/n² fois sur le grand carré pour obtenir sa surface.

                     

                          

 

On remarque alors que L²/n² = (L/n)^2

  • Propriété générale

Remarque: Les deux exposants apparus correspondent pour les deux exemples aux dimensions de l'objet soit 1 pour le segment et 2 pour le carré.

Soit N le nombre de fois que l'on reporte l'étalon de longueur n sur notre objet de longueur L, et soit d la dimension de l'objet. On obtient: N = (L/n)^d

Or, N = (L/n)^d

<=> ln(N) = ln ((L/n)^d)

<=> ln(N) = d * ln (L/n)

<=> d = ln (N) / ln (L/n)

 

Si l'on applique cette formule au Flocon de Koch, on a:

d = ln (N) / ln (L/n)

d = ln 4 / ln (1(1/3))

d = ln 4 / ln 3

d = 1.26

La dimension du flocon de Koch est alors de 1.26, elle est donc non-entière. Cette propriété est propre à la géométrie fractale et correspond encore une fois à une particularité étonnante des fractales.

 

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