1. A- Exemple du Flocon de Koch: calcul de son périmètre

18 Janvier 2016

"Il y a un ordre derrière le désordre apparent"

Benoît Mandelbrot

Pour permettre de comprendre ce qui se cache derrière la complexité apparente des fractales mathématiques, nous allons tenter de déterminer leurs principales propriétés, nous étudierons l'exemple du Flocon de Koch qui nous semble être le plus accessible.

Le Flocon de Koch est un objet fractal créé en 1904 par le mathématicien suédois Helge Von Koch. Après l'avoir étudié d'un peu plus près, nous pourrons démontrer deux de ses principales propriétés qui concernent son aire et son périmètre. Celles-ci s'appliquent à toutes les autres fractales et représentent leurs caractéristiques essentielles.

Il faut savoir que le flocon de Von Koch représente au départ un triangle équilatéral qui évolue selon un nombre d'itérations (étapes). Comme nous l'avons vu dans l'introduction, cet objet fractal fait preuve d'auto-similarité.

Flocon de Von Koch

Pour commencer, nous avons réalisé grâce au logiciel Algobox un algorithme permettant de créer une courbe du flocon de Koch suivant plusieurs itérations (comprise entre 1 et 8, le logiciel n'étant pas capable d'effectuer davantage d'itérations).

Code de l'algorithme:

1   VARIABLES
2     n EST_DU_TYPE NOMBRE
3     i EST_DU_TYPE NOMBRE
4     j EST_DU_TYPE NOMBRE
5     k EST_DU_TYPE NOMBRE
6     a EST_DU_TYPE NOMBRE
7     x EST_DU_TYPE LISTE
8     y EST_DU_TYPE LISTE
9     max EST_DU_TYPE NOMBRE
10  DEBUT_ALGORITHME
11    AFFICHER "Nombre d'itérations="
12    LIRE n
13    AFFICHER n
14    SI (n>=1 ET n<=8) ALORS
15      DEBUT_SI
16      max PREND_LA_VALEUR pow(4,n)
17      POUR i ALLANT_DE 0 A max
18        DEBUT_POUR
19        x[i] PREND_LA_VALEUR 0
20        y[i] PREND_LA_VALEUR 0
21        FIN_POUR
22      x[max] PREND_LA_VALEUR 450
23      POUR i ALLANT_DE 1 A n
24        DEBUT_POUR
25        k PREND_LA_VALEUR pow(4,n-i)
26        POUR j ALLANT_DE 0 A pow(4,i-1)-1
27          DEBUT_POUR
28          a PREND_LA_VALEUR 4*j*k
29          x[a+k] PREND_LA_VALEUR (2*x[a]+x[a+4*k])/3
30          y[a+k] PREND_LA_VALEUR (2*y[a]+y[a+4*k])/3
31          x[a+3*k] PREND_LA_VALEUR (x[a]+2*x[a+4*k])/3
32          y[a+3*k] PREND_LA_VALEUR (y[a]+2*y[a+4*k])/3
33          x[a+2*k] PREND_LA_VALEUR (x[a+k]+x[a+3*k]+sqrt(3)*(y[a+k]-y[a+3*k]))/2
34          y[a+2*k] PREND_LA_VALEUR (y[a+k]+y[a+3*k]+sqrt(3)*(x[a+3*k]-x[a+k]))/2
35          FIN_POUR
36        FIN_POUR
37      POUR i ALLANT_DE 0 A max-1
38        DEBUT_POUR
39        TRACER_SEGMENT (x[i],y[i])->(x[i+1],y[i+1])
40        FIN_POUR
41      FIN_SI
42  FIN_ALGORITHME1

On peut aussi retrouver cet algorithme sur le lien ci-dessous:

Lien vers l'algorithme

Exemples:

Représentation de la courbe de Koch (itération 4). Algorithme réalisé grâce à Algobox.

Représentation de la courbe de Koch (itération 8). Algorithme réalisé grâce à Algobox.

Cet algorithme nous permet d'observer les changements opérés par la courbe du flocon suivant son nombre d'itération. On peut s'apercevoir qu'à 4 itérations, la courbe paraît être une forme géométrique encore assez simple alors qu'à 8 itérations elle est plus complexe. En effet, on observe que le flocon se transorme au fur et à mesure des itérations. Il semblerait alors que son périmètre augmente. D'après ces observations, nous allons essayer de vérifier ou non cette hypothèse et de savoir comment son périmètre évolue.

Calcul du périmètre:

1. A- Exemple du Flocon de Koch: calcul de son périmètre

Itération 0 Itération 1 Itération 2 Itération ...

Nous voulons dégager une propriété générale du périmètre du flocon qui nous permettrait de le calculer pour n'importe quelle itération. Pour cela, nous calculons le périmètre des 3 premières itérations (0,1,2).

Itération 0:

Chaque côté c d'un triangle équilatéral correspond à une unité de longueur.

Soit c=1 et P₀= Périmètre de l'itération 0

P0= c*3

P₀=1*3

P0= 3

Itération 1:

A l'itération 1, chaque segment de l'itération 0 est divisé en trois segments de même longueur. Le segment central (segment vert) est quant à lui remplacé par deux segments égaux, ils correspondent à deux côtés d'un nouveau petit triangle équilatéral. Chaque côté du nouveau triangle vaut alors (1/3) d'un côté du triangle de l'itération 0. On obtient alors 4 petits côtés de longueur 1/3 sur une unité de longueur du flocon de l'itération 0. Sur l'ensemble du flocon, on a alors 16 côtés.

Soit P₁ le périmètre du flocon de l'itération 1.

P1 = 3*(4/3)

P1 =4

Itération 2:

Le processus se répète selon le même modèle: on obtient alors 16 petits côtés pour une unité de longueur de l'itération 0 soit une totalité de 48 côtés sur l'ensmble du flocon. Chaque côté vaut alors (1/9).

Soit P2 le périmètre du flocon de l'itération 2.

P2 = 3*(16/9)

P2 = 4*(4/3)

Avec l'aide d'excel, nous avons réalisé un tableau qui permet de calculer le périmètre des 4 premières itérations:

Tableau représentant les périmètres des 4 premières itérations

D'où : Pn+1 = (4/3) * Pn

n = nombre d'itération

Pn = périmètre du nème flocon

Pn+1= périmètre de l'itération suivant n

Pour tout n ∈ N

On constate aisément que plus n augmente, plus le périmètre augmente.

Par exemple nous pouvons calculer le périmètre d'une itération importante comme n = 52

P52 = 7063123.853

n tend vers l'infini, c'est pourquoi nous pouvons dire que le périmètre d'une fractale tend aussi vers l'infini.

Pim Pn -> +∞

n -> + ∞

Le graphique ci-dessous illustre parfaitement le périmètre tendant vers l'infini.

D'où : Pn+1 = (4/3) * Pn

Pn = périmètre du nème flocon

Pn+1= périmètre de l'itération suivant n

Pour tout n ∈ N

Plus n augmente, plus le périmètre augmente.

Exemple: Pour n = 52

P52 = 7063123.853

Pim Pn = +∞

n -> + ∞

n tend alors vers l'infini, c'est pourquoi nous pouvons dire que le périmètre d'une fractale est infini.

D'où : Pn+1 = (4/3) * Pn

Pn = périmètre du nème flocon

Pn+1= périmètre de l'itération suivant n

Pour tout n ∈ N

Plus n augmente, plus le périmètre augmente.

Exemple: Pour n = 52

P52 = 7063123.853

Pim Pn = +∞

n -> + ∞

n tend alors vers l'infini, c'est pourquoi nous pouvons dire que le périmètre d'une fractale est infini.

Graphique réalisé à l'aide d'Excel