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Les Fractales

Les Fractales

TPE par Inès Arioli, Oriane Benistant, Ivana Lhottellier-Aman

1. B- Calcul de l'aire du Flocon de Koch

Après avoir étudié le périmètre d'une fractale, nous analysons son aire en suivant toujours l'exemple du flocon de Koch. Afin de dégager une propriété générale de l'aire du flocon, nous faisons une étude des 2 premiers cas d'itérations.

Flocon de l'itération 0

 1. B- Calcul de l'aire du Flocon de Koch
Triangle de l'itération 0 (réalisé à l'aide de GeoGebra)

Triangle de l'itération 0 (réalisé à l'aide de GeoGebra)

  • Itération 0:

Pour calculer l'aire du flocon de l'itération 0, nous allons commencer par trouver la longueur de la hauteur BC puis appliquer la formule de l'aire d'un triangle.

Grâce au théorème de Pythagore, on calcule la longueur de BC (la hauteur du triangle ACD rectangle en B).

AC² = AB² + BC²

BC² = AC² - AB²             

BC² = 1² - 0.5²

BC= √ (0.75)

BC = √ (3/4)

BC= √3/2

 

Ensuite, nous calculons l'aire du triangle. 

Aire d'un triangle = (base * hauteur) /2.

A0= aire du triangle de l'itération 0

A0 = (BC *AD)/2

A0 = (√ 3/2*1)/2

A0 =  √ 3 /4

Le flocon de l'itération 0 a une aire de √ 3 /4.

 
 Flocon à l'itération 1
 1. B- Calcul de l'aire du Flocon de Koch
Petit Triangle de l'itération 1 (réalisé à l'aide de GeoGebra)

Petit Triangle de l'itération 1 (réalisé à l'aide de GeoGebra)

 

  • Itération 1:

Pour calculer l'aire du flocon de l'itération 1, nous cherchons l'aire d'un des trois nouveaux petits triangles créés de côté 1/3. Après avoir multiplié la valeur trouvée par 3 nous ajouterons l'aire de l'ancien triangle de l'itération 0. 

 

Calcul aire petit triangle:

Comme précédemment, nous commençons par calculer la hauteur BC à l'aide du théorème de Pythagore:

AC² = AB² + BC²

BC² = AC² - AB²

BC² = (1/3)² - (1/6)²

BC² = (1/9) - (1/36)

BC² = (3/36)

BC = √ (3/36)

BC = 3 /6

 

Ensuite nous pouvons calculer l'aire entière d'un petit triangle.

Aire du petit triangle = (a0)

a= (1/3*√ 3/6)/2

a=(√ 3/18) / 2

a= (√ 3/18) * (1/2)

a= √ 3/36

 

Calcul aire flocon entier:

Aire  du flocon à l'itération 1= Aire du flocon à l'itération 0 + 3*(Aire du petit triangle)

Soit A1 l'aire du flocon de l'itération 1

A1 = A0+3*a0

A1 =√ 3 /4 + 3*(√3/36)

Le flocon de l'itération 1 possède donc une aire de √ 3 /4 + 3*(√3/36).

D'où:

Pour tout n ∈ N

Sn = A0 + A1... + An

Avec Sn = l'aire totale du nème flocon

An =  somme de l'aire des petits triangles

Grâce à cette démonstration, nous pouvons dire que l'aire d'une fractale stagne. Celle-ci possède donc une aire finie contrairement à son périmètre. Le graphique ci-dessous nous prouve cette propriété: 

 

Graphique réalisé grâce à Excel

Graphique réalisé grâce à Excel

En plus de l'auto-similarité, nous constatons donc qu'une fractale relève d'un paradoxe exceptionnel: son périmètre tend vers l'infini alors que son aire est finie. L'ensemble de Mandelbrot est le symbole des objets fractals et comporte alors ces mêmes propriétés extraordinaires. Mais il relève d'une complexité tout autre.

L'ensemble de Mandelbrot

L'ensemble de Mandelbrot

 1. B- Calcul de l'aire du Flocon de Koch
Illustration de l'auto-similarité de l'Ensemble de Mandelbrot à différentes échelles (réalisée grâce au logiciel ChaosPro)

Illustration de l'auto-similarité de l'Ensemble de Mandelbrot à différentes échelles (réalisée grâce au logiciel ChaosPro)

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